Paradosso del compleanno

Il paradosso del compleanno (o problema del compleanno) è un paradosso di teoria della probabilità definito nel 1939 da Richard von Mises. Il paradosso afferma che la probabilità che almeno due persone in un gruppo compiano gli anni lo stesso giorno è largamente superiore a quanto potrebbe dire l'intuito: infatti già in un gruppo di 23 persone la probabilità è circa del 51%; con 30 persone essa supera il 70%, con 50 persone tocca addirittura il 97%, anche se per arrivare all'evento certo occorre considerare un gruppo di almeno 367 persone (per il principio dei cassetti).
Per effettuare il calcolo, si ricorre alla formula per la probabilità degli eventi indipendenti: per rendere più semplice il calcolo si assume che gli anni siano tutti di 365 giorni e che i compleanni siano equiprobabili, anche se ciò non è esatto. Aggiungere il giorno bisestile peggiora leggermente la probabilità, ma in compenso il fatto che i compleanni non siano equiprobabili la alza.
Il modo più semplice per calcolare la probabilità P(p) che ci siano almeno due persone appartenenti ad un gruppo di p persone che compiano gli anni lo stesso giorno è calcolare dapprima la probabilità P1(p) che ciò non accada. Il ragionamento è questo: data una qualunque persona del gruppo (indipendentemente dalla data del suo compleanno), vi sono 364 casi su 365 in cui il compleanno di una seconda persona avvenga in un giorno diverso; se si considera una terza persona, ci sono 363 casi su 365 in cui compie gli anni in un giorno diverso dalle prime due persone e via dicendo.